Abans et caurà un meteorit al damunt que guanyaràs la Primitiva: la probabilitat en les loteries

Admetem-ho: ningú juga a la loteria perquè li toqui el reintegrament. L'objectiu és guanyar el primer premi. I encara que part de la gràcia de jocs com la Primitiva, la Bonoloto, la Loteria Nacional, la loto 6/49 o el cupó de la'Once està en la incògnita de no saber si tu seràs el guanyador, les matemàtiques ens ajuden a entendre la probabilitat que ens toqui. I el que ens diu l'estadística és que estem molt més lluny de l'anhelat premi que del meteorit que ens pot caure a sobre algun dia.

"En els jocs d'atzar, la base és que la banca guanya, si no no hi hauria loteria", afirma Pedro Delicado, professor del Departament d'Estadística i Investigació Operativa de la Universitat Politècnica de Catalunya (UPC). Les loteries estan dissenyades perquè "el que les organitza tingui cada dia guanys", ja que guanyi qui guanyi, sempre es quedarà amb un percentatge del que ha recaptat.

Llavors, ¿per què seguim jugant? Deixant de banda la part sociocultural d'aquests sortejos (evident en casos com la Loteria de Nadal o la Grossa), la raó és que, encara que sigui remota, la probabilitat de guanyar diners existeix. És cert que el conjunt de els jugadors hi surt perdent, però mentre alguns ho perden tot, altres poden emportar-se molt. I aquí és on entra l'estadística. Les probabilitats d'encertar determinada combinació de números es calcula dividint els casos favorables entre els probables. Per exemple, a la Loteria, hi hauria un cas favorable (que el nostre número guanyi) entre 100.000 possibles (els números que entren en el sorteig), i per això la probabilitat seria d'1 entre 100.000. La cosa es complica quan per guanyar han de donar-se dues condicions (encertar el número i el reintegrament, com en el premi Especial de la Primitiva, o números i estrelles, com en el Euromillones).

PROBABILITAT I VALOR ESPERAT

Els càlculs de probabilitats són un exercici típic en les facultats de Matemàtiques, però com no es tracta aquí d'aprovar cap examen universitari, el professor Delicado ens dóna la solució. La probabilitat de tenir els sis números de la Primitiva és d'una entre 13,9 milions, però si a més volem encertar el reintegrament, les probabilitats s'allunyen a una entre 139,8 milions. És més probable que ens toqui l'Euromillones (una entre 116,5 milions), però moltíssim més encara morir per l'atac d'un tauró (una entre 3,7 milions), que ens caigui un llamp (una entre 700.000) o de morir per un meteorit, on les probabilitats oscil·len entre una entre 3.000 i una entre 250.000, segons un article publicat per National Geographic (amb càlculs basats als EUA).

Els més optimistes poden consolar-se amb aquesta altra dada: com més vegades es jugui al llarg de la vida, més probabilitats hi ha de guanyar. Per exemple, en el premi Especial de la Primitiva, quan es diu que la probabilitat és d'una entre 139,8 milions es refereix a "la probabilitat que et toqui un dia concret, cada dia tens aquesta probabilitat que et toqui aquell dia", explica Delicado. Però, ¿i si algú juga cada setmana durant 20 anys? "Aquí estaríem parlant de la probabilitat que et toqui almenys una vegada durant tots aquells anys, que podrem anomenar q. Si la probabilitat que et toqui un dia concret és p, i jugues n vegades (n setmanes), la probabilitat que et toqui alguna vegada és q=1 - (1-p)^n", prossegueix. En concret, si p=1/139.838.160, i n=52*20=1040, la probabilitat que et toqui alguna vegada és q=0,000007437141, que és aproximadament d'1 entre 134.460". I en aquest cas, ja és més fàcil convertir-se en un milionari gràcies al sorteig que ser víctima d'un llamp.

Però les matemàtiques poden explicar encara més coses sobre els jocs d'atzar, explica Delicado. Per exemple, el valor esperat, que es podria resumir com el que un jugador guanyaria per cada euro jugat si participés durant molts anys a aquell joc (o el que rebrien tots els participants d'un sorteig si es repartís equitativament entre tots ells el total destinat a premis aquell dia). Per exemple, el valor esperat de la Primitiva és de 0,55, cosa que vol dir que un jugador habitual d'aquest sorteig, al cap de molt temps, haurà guanyat 55 cèntims per cada euro jugat. Lògicament, hi surt perdent, perquè totes les loteries són desfavorables per als jugadors. No obstant, cal recordar que això és un càlcul general, i que hi haurà casos concrets de persones que hauran rebut molt més per cada euro invertit, mentre que altres tindran molt menys que aquells 55 cèntims per euro.

El valor esperat d'un joc es pot deduir del percentatge de recaptació destinat a premis d'aquest sorteig. Per exemple, la Loteria Nacional destina a premis el 70% de la recaptació (i es queda el 30% restant), i l'Euromillones, el 50%, cosa que vol dir que el valor esperat de la Loteria Nacional és més gran (0,70) que el de l'Euromillones (0,50). És pràcticament impossible trobar un valor estimat per sobre de l'1, perquè això voldria dir que es donaria més diners en premis que el que s'ha recaptat, encara que es podria donar en el cas hipotètic de l'acumulació d'un pot estratosfèric (la normativa d'alguns sortejos posen límits per evitar que això passi).

L'AVERSIÓ AL RISC

Notícies relacionades

¿Per a què serveix aquest ‘botó màgic’ del cotxe? «Pots desfer l’accident»

Aquest és la ciutat més lletja de Catalunya, segons la intel·ligència artificial

Llavors, ¿és millor participar en els sortejos en què hi ha una probabilitat més gran de guanyar o que tenen un valor esperat més alt? Això dependrà de l'aversió al risc del jugador. Perquè encara falta un altre concepte matemàtic: la variança d'una aposta, que es podria definir com una mesura de com estan de "lluny els premis del valor esperat", afirma el professor. O d'una altra manera, l'indicador de risc de l'aposta. Un jugador pot preferir aspirar a un premi menor, però arriscar menys, i un altre arriscar més però tenir la possibilitat de guanyar més milions. "Las matemàtiques no diran quin és millor, les matemàtiques diuen que és millor no jugar", acaba dient l'expert l'Estadística.

I a més, després de tots aquests càlculs, és encara més difícil saber la probabilitat que, si un dia us toca el pot, també hi hagi altres encertants, i al final s'hagi de dividir el premi.