Matemàtiques que ajuden a predir el resultat d'un partit de futbol

Extracte de “¡Que las matemáticas te acompañen!" de Clara Grima, amb il·lustracions de Raquel Gu (Ariel, 2018)

Selecció a càrrec de Valentina Raffio

Llegeix els altres Avenços de Ciència

MATEMÀTIQUES, QUE NO ÉS POC

Soc matemàtica. I m’agrada. Ho sé, pot ser que algú no hi trobi la gràcia i s’imagini que qui tecleja aquestes línies és una bitxo raro, associal, amb una ment privilegiada per fer càlculs mentals mentre els seus ulls giren a gran velocitat activant les neurones que posen en marxa els algoritmes algebraics. Doncs no, no soc res d’això. Bé, no sé si soc rara, jo em veig bastant normal, molt gaussiana. Ho sento, no he pogut evitar fer l’acudit matemàtic, però és que el text m’ho estava demanant a crits.

Moltes vegades em pregunten per què vaig triar estudiar matemàtiques, si vaig tenir algun professor que m’inspirés especialment per fer-ho, si vaig ser una nena prodigi que va destacar fent comptes, si sempre he volgut ser matemàtic. La resposta a totes aquestes preguntes és no; quan era petita volia tenir una merceria on vendre botons, molts botons, de totes les mides i de tots els colors, perquè adorava el so produït a l’arrencar-los del cartró amb què solien venir enganxats en aquella època. Això o cantant, cantant de copla espanyola. Em posava flors de plàstic dels gerros de casa al cabell per cantar coples amb molt sentiment, tot molt dramàtic. Quan era adolescent volia ser Madonna. Aquest era el meu somni. Lamentablement (o afortunadament) la naturalesa no em va dotar de grans aptituds per a la música i vaig haver de triar un altre camí.

Però ¿per quina matemàtica? Perquè jo era, bàsicament, mandrosa. No m’agradava aprendre noms que altres havien assignat als rius, als animals o a les plantes perquè sí, perquè ells van voler. Les ‘mates’, en canvi, eren un joc; només calia aprendre les regles i jugar. ¡S’havien de descobrir coses! Això era emocionant. Recordo que la primera vegada que vaig resoldre una equació (lineal de primer ordre, tipus x + 3 = 5 o similar) vaig fer un crit d’alegria. ¡Sabia descobrir secrets de les matemàtiques! Tot era lògic, les matemàtiques són el que han de ser, no depenen del caprici humà, són i seran sempre les mateixes. Són eternes. Qualsevol moviment polític pot canviar una frontera o el nom d’una ciutat, però el 7 sempre serà un nombre primer, i això és una cosa tan poderosa com meravellosa.

Així, quan va arribar l’hora d’escollir què estudiar a la universitat ho tenia gairebé del tot clar. Durant uns mesos vaig dubtar entre estudiar matemàtiques i filosofia; totes dues m’atreien per igual, totes dues em feien pensar. Va ser el meu professor de filosofia, Antonio Hurtado, qui em va ajudar a decidir: «Estudia matemàtiques a la universitat i llegeix llibres de filosofia en el teu temps lliure. Has de menjar». Desgraciadament, el meu professor tenia raó, perquè en aquella època (ara encara més) la filosofia era una carrera amb poc futur laboral. D’altra banda, aquell consell d’Antonio és un dels millors que m’han donat en la meva vida, i no només perquè estic treballant gairebé des que vaig acabar els meus estudis de matemàtiques, sinó que també perquè les matemàtiques han modelat la meva vida, i els ha quedat bastant bé. Les matemàtiques m’han fet i em fan feliç.

Vaig començar els meus estudis de matemàtiques a la Universitat de Sevilla i vaig descobrir què significava realment aquesta paraula: matemàtiques. Em vaig enamorar perdudament d’aquesta branca del coneixement i, no sense esforç, vaig completar els meus estudis. Però és que les matemàtiques no són fàcils, però, això sí, són molt emocionants; no hi ha res més fascinant. Quan vaig acabar els meus estudis, vaig començar la meva tesi doctoral en Geometria Computacional de la mà d’Alberto Márquez i, ja sí, vaig entregar el meu cor i el meu amor complet a aquesta manera de veure la vida, a través de les matemàtiques.

Vaig començar a treballar com a professora de l’àrea de Matemàtica Aplicada de la Universitat de Sevilla un meravellós dia assolellat del novembre de 1995. Ràpidament vaig descobrir que la satisfacció d’investigar és només comparable a la d’explicar i ensenyar el que has descobert. Durant més de deu anys, això últim es va reduir a l’àmbit de les meves classes a la Universitat i a les comunicacions en congressos. Amb l’arribada dels meus fills se’m va plantejar el repte d’explicar-ho fora de l’aula, a la catifa del saló.

El meu fill petit, Ventura, tenia sis anys en aquella època i em va preguntar què era això que portava a la samarreta.

—Mami, ¿això és una taula o una porteria de futbol?

—És un número, Ventura, es diu π [pi]. Ell em va mirar estranyat, escèptic, com són i han de ser els nens.

—És un número que està entre el 3 i el 4 —vaig afegir.

—Mami, no hi ha cap número entre el 3 i el 4. Hi ha el 3 i després ve el 4.

—Bé, sí que hi ha números entre el 3 i el 4, de fet n’hi ha infinits.

—Quants són infinits, mama? —el meu fill de vuit anys es va unir a la festa. 

Com que mai he estat covarda, crec, i em van encantar les seves preguntes, vaig provar d’explicar-los aquests conceptes com vaig poder, inventant històries, explicant que el número π servia per mesurar cercles; que sense aquest número no podríem mesurar les circumferències, els vaig dir. I l’infinit era una cosa que només era al nostre cap i que mai no podríem assolir-lo per gaire temps que estiguéssim comptant.

Les seves conclusions, bàsicament, van ser dues:

—Ah, clar! Per això les pizzes es diuen pi-zzes, perquè són rodones.

—L’infinit és un invent dels matemàtics per quan es cansen de comptar.

Aquest va ser el Big Bang de la meva carrera divulgadora. Amb l’ajuda del pinzell i les aquarel·les de Raquel GU (il·lustradora d’aquest llibre) comencem el nostre blog Mati y Sus Mateaventuras, ple d’històries farcides de matemàtiques o de matemàtiques disfressades de contes.

Encara ens sorprèn la rebuda que va tenir el blog, en principi per a famílies, entre els professors de primària i secundària. I no només professors: gent que pensava que no li agradaven les matemàtiques ens escrivia per dir-nos que així les matemàtiques són boniques.

No té mèrit; les matemàtiques són boniques perquè ho són. L’únic que vam fer va ser mostrar-ho en context, dins d’històries. Encara avui dia molta gent associa les matemàtiques amb fer comptes, amb fer divisions o arrels quadrades, però això no són les matemàtiques. Les matemàtiques són, com ja he dit fa unes línies, un joc, un joc meravellós i poderós: són el que han de ser. Són el llenguatge que descriu el nostre món, són una manera de raonar amb lògica i elegància. Són la manera d’entendre el nostre univers.

Des del 14 de maig del 2011 dedico part del meu temps a la divulgació, per a nens de 9 a 99 anys, conscient que a tothom li agraden les matemàtiques, només que alguns encara no ho saben.

El llibre que tens a les mans pretén demostrar això últim, que t’agraden les matemàtiques. Si ja ho saps, espero que disfrutis d’aquest passeig per la teva vida quotidiana trobant-les en gairebé qualsevol cosa que fas, des de lligar-te les sabates fins a aquesta ‘selfie’ en què has sortit tan bé, passant per subhastes, màquines de cosir, ‘Joc de trons’ i Google. Si ets dels que pensen que no els agraden les matemàtiques, deixa’m convèncer-te del contrari: tot el que fas n’està farcit i són apassionants. I si et convenço només et demano a canvi un favor: surt al carrer i crida que t’agraden les matemàtiques. Tan fort com puguis. Desgraciadament, encara al segle XXI, enmig de tanta tecnologia hi ha gent (amb un telèfon mòbil a la mà) que afirma el contrari, que assegura que les matemàtiques no serveixen per a res. Doncs bé, aquest sentiment que flota en l’aire és un fre a les rodes del futur de qualsevol país, perquè el futur s’escriu amb M de matemàtiques. El matemàtic Edward Frenkel té una frase tan curteta com eloqüent per explicar-ho: «Hi ha una petita elit que té el poder. I el té perquè sap matemàtiques i tu no». Fem, com diu el també matemàtic Cédric Villani, que saber i entendre matemàtiques sigui una prioritat nacional.

Posa’t còmode, relaxa’t i deixa’t portar en aquest passeig per la teva quotidianitat. No voldràs caure en el costat fosc, ¿veritat? ¡Que la matemàtica t’acompanyi! 

FUTBOL: les matemàtiques n’encerten més que el pop Paul

¿Recorden el Mundial de Futbol de 2010? Segur que sí. ¿I el famós pop Paul que predeia els resultats? Ja que no comptem amb ell (que en pau descansi), i no es coneixen equacions que ajudin a predir el resultat d’un partit, no faltaran els que en alguna competició trobin algun indici de victòria o derrota amb una nova bestioleta o en una taca a la paret... Si són menys ingenus que això, els proposo estudiar una mica de teoria de grafs per predir algun resultat.

Cada vegada que s’apropa un mundial, la nostra selecció s’enfronta a la missió gairebé impossible de renovar el títol aconseguit gràcies a Iniesta, Xavi, Xabi i companyia. A part d’una alimentació sana, descans i durs entrenaments, part de l’ajuda pot venir d’una disciplina matemàtica: la teoria de grafs, de la qual ja hem parlat. Hi ha diversos treballs que tracten d’estudiar les tàctiques de cada equip, els seus punts forts i les seves flaqueses en funció del graf de les seves passades associades (els vèrtexs són els jugadors i s’afegeix una fletxa entre ells de diferent gruix en funció del nombre de passades en aquesta direcció). En aquest sentit, es van fer particularment famosos en el mundial del 2010 dos matemàtics, Javier López Peña i Hugo Touchette, de la Queen Mary University de Londres.

En el treball van recollir totes les passades fetes en les diferents fases de joc i van arribar a predir el triomf d’Espanya. També van analitzar alguns partits específics, posant de manifest, per exemple, els enormes forats en les tàctiques d’Anglaterra contra Alemanya. Per a cada selecció, López Peña i Touchette van elaborar una xarxa de passades (‘passing network’) entre els jugadors durant tot el torneig i van analitzar com aquestes xarxes es comparen entre els equips. Touchette explica que «a cada jugador a la xarxa se li assigna una puntuació anomenada centralitat (‘centrality’) que mesura com de vital és per a la xarxa. A més valor de la centralitat, més gran serà l’impacte si aquest jugador falla per alguna raó. Aquest tipus d’anàlisi s’utilitza comunament per aconseguir les xarxes informàtiques més robustes, però també pot ser utilitzat per planificar l’estratègia del futbol».

¿Com calculen la centralitat d’un jugador? En funció de diversos paràmetres, principalment tres: proximitat (‘closeness’), intermediació (‘betweenness’) i popularitat (‘PageRank centrality’). La proximitat de cada jugador és un valor assignat a aquest en funció de la seva distància mitjana a la resta de l’equip, de tal manera que un jugador ben connectat amb l’equip tindrà una distància mitjana petita i una proximitat alta. La intermediació mesura, en algun sentit, la importància d’aquest jugador en jugades que connecten dos companys més del seu equip, o dit d’una altra manera, l’impacte que treure’l produeix en el joc dels seus companys.

En aquest sentit, l’equip ha de procurar tenir una distribució uniforme d’aquest valor, la intermediació, entre els seus jugadors, per evitar el risc de dependre fortament d’alguns jugadors estrelles. Quant a la popularitat, convé assenyalar que, bàsicament, aquesta noció de centralitat coincideix amb el PageRank que Google utilitzava per indexar internet, donant més «pes» a algunes pàgines en funció de les pàgines que l’enllacen, per exemple. En el cas del futbol, la teva popularitat es mesuraria utilitzant, entre altres paràmetres, la probabilitat que un altre jugador molt popular decidís passar-te la pilota en lloc de continuar ell amb la jugada. El valor d’aquest últim paràmetre per a un determinat futbolista, evidentment, depèn dels valors de popularitat dels seus companys d’equip, i per això cal calcular-lo en conjunt.

A part d’aquests tres paràmetres que mesuren el rendiment de cada futbolista, proposen també l’assignació d’un valor d’agrupació (‘clustering’) de l’equip, una mesura de la tendència dels jugadors de l’equip a agrupar-se, a passar-se la pilota els uns als altres. Calculats aquests valors, utilitzant dades de partits anteriors, ¿com es va fer la predicció Holanda-Espanya sense cap pop?

Les xarxes de passades estudiades van revelar que els jugadors espanyols havien fet un nombre sorprenentment elevat de passades en aquest torneig (cosa que, d’altra banda, ja sap qualsevol aficionat al futbol tiqui-taca), gairebé el 40% més que Alemanya i dues vegades més que els holandesos.

Notícies relacionades

Pluja d’estrelles abril 2023: ¿quan i com veure els Lírids?

Aquestes són les feines que porten més infelicitat

«L’equip es basa en passades ràpides que estan ben distribuïdes entre tots els jugadors, especialment entre aquells que juguen al mig del camp», va dir Javier López Peña. Però no només això; l’equilibri espanyol també es trobava en les passades que rebia David Villa, màxim golejador del torneig, amb una mitjana de 37 passades per partit, més que qualsevol altre davanter de la resta dels equips.

Al contrari, el tipus de joc holandès era clarament ofensiu, amb un nombre molt baix de passades entre els jugadors, la majoria dels quals estaven dirigits als davanters. Segons López Peña, «el baix nombre de passades mostra que els holandesos prefereixen atacs ràpids, contraatacs, en lloc de jugades elaborades. Els seus objectius són sovint marcatges en jugades clau com els tirs lliures i utilitzen la seva presència física per vèncer els seus oponents». En funció d’aquestes dades van arribar a la conclusió que era més fàcil per a Espanya anul·lar el joc holandès i que, per tant, la victòria havia de correspondre a la nostra selecció; van publicar els esmentats resultats el dia 2 de juliol del 2010 (dies abans de la final). Així que ja sabem que la nostra selecció comptava, al seu favor, tant amb la teoria de grafs com amb el pop Paul: no podíem perdre.